Перечитывая Куранта

(автор Александр Борисович Шур, кандидат технических наук, доцент, член-корреспондент ААН)

Я читал книгу Куранта "Что такое математика" более 60 лет назад, будучи студентом металлургического факультета.

Перечитывая сейчас, вдруг обнаружил, что в моих публикациях недостает ссылок на нее, и хочу, пусть и с опозданием, исправить это упущение.

Курант из тех пророков, кого часто упоминают всуе, но не следуют их призывам.

Вот его кредо:

" Приобретенный запас внутренних сил и, помимо всего прочего, чрезвычайное упрощение, достигаемое на основе ясного понимания, позволяют сегодня манипулировать математической теорией таким образом, чтобы приложения не упускались из виду. Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретностью - вот как нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем.

Чрезмерное подчеркивание аксиоматико-дедуктивного характера математики представляется мне весьма опасным. Конечно, начало конструктивного творчества, интуитивное начало, являющееся источником наших идей и доводов в их пользу, с трудом укладываются в простые философские формулировки; и тем не менее именно это начало есть подлинная суть любого математического открытия, даже если оно относится к самым абстрактным областям.

Если целью и является четкая дедуктивная форма, то движущая сила математики - это интуиция и конструкции.

В допущении, что математика есть не более чем система следствий, извлекаемых из определений и постулатов, которые должны быть только совместимы между собой, а в остальном являются продуктом свободной фантазии математиков, таится серьезная угроза для самого существования науки.

Если бы это было действительно так, математика была бы занятием, недостойным мыслящего человека.

Она была бы просто игрой с определениями, правилами и силлогизмами, не имеющей ни причины, ни цели. Представление, согласно которому человеческий интеллект может творить лишенные какого бы то ни было смысла системы постулатов, есть обман, точнее, полуправда.

...

Хотя созерцательное направление логического анализа и не представляет всей математики, оно способствовало более глубокому пониманию математических фактов и их взаимозависимости и более ясному овладению существом математических понятий.

Именно из этого направления выросла современная точка зрения на математику как на образец универсально приложимого научного метода."

В свете сегодняшних знаний о функциональной асимметрии мозговых полушарий, кредо Куранта - пророчество: при обучении нужна сбалансированная нагрузка на оба полушария и недопустимы "левые" перекосы.

И главный по значимости для массового образования пример конкретизации этих идей - вопрос о порядке знакомства с понятием интеграла.

Вот что пишет Р.Курант:

" В некоторых руководствах содержание этой основной теоремы (Ньютона-Лейбница -А.Ш.) затемняется вследствие неудачно выбранной терминологии. Именно, многие авторы сначала вводят понятие производной, а затем определяют <неопределенный интеграл> просто как результат операции, обратной по отношению к дифференцированию: они говорят, что функция G(x) есть неопределенный интеграл от функции f(x), если G'(x) = f(x).

Таким образом, этот способ изложения непосредственно связывает дифференцирование со словом <интеграл>. Только позднее вводится понятие <определенный интеграл>, трактуемое как площадь или как предел последовательности сумм, причем недостаточно подчеркивается, что слово <интеграл> обозначает теперь нечто совершенно другое,чем прежде.

И вот оказывается, что самое главное, что содержится в теории, приобретается лишь украдкой - через заднюю дверь, и учащийся встречается с серьезными затруднениями в своих усилиях понять существо дела.

Мы предпочитаем функции G(x), для которых G'(x) = f(x), называть не <неопределенными интегралами>, а первообразными функциями от функции f(x). Тогда основная теорема может быть сформулирована следующим образом: Функция F(x), являющаяся интегралом от функции f(x) при постоянном нижнем и переменном верхнем пределе x, есть одна из первообразных функций от функции f(x)."

С моей точки зрения, дело тут не в терминологии, и не в очередности введения понятий производной и интеграла, а в том, начинать ли с определенного или неопределенного интеграла.

Применительно к нынешним реалиям, слова "в некоторых руководствах" сильно смягчают картину. На самом деле, не "некоторые", а практически все учебники и лекционные курсы используют именно упомянутую "неудачно выбранную терминологию", а точнее - дезориентирующий порядок изложения основ анализа.

Редкое исключение - "Высшая математика для начинающих" Я.Б.Зельдовича, где вначале дается определенный интеграл, и вообще - понятное изложение не только декларируется, но и реализуется.

Справедливости ради, нужно сказать и о происхождении "неудачной" традиции. Она идет от Л.Эйлера, которого, однако, упрекнуть не в чем. Он решал научную задачу, и блестяще с ней справился. Но мы-то толкуем о проблеме педагогической.

А для целей обучения нужно иметь набор разных учебников. Трагедия не в том, что принят не тот порядок изложения, а в том, что он один и тот же во всех учебниках. Как указывал В.Босс, нужно иметь учебники разного уровня. И если в книге для новичков будет начато с определенного интеграла, то освоивших по нему это понятие уже не собъет с толка более продвинутый учебник, где вначале введен неопределенный интеграл. При условии, разумеется, что знакомство с этими учебниками пройдет именно в таком порядке.

В подтверждение значимости сказанного, сошлюсь на личный студенческий опыт (в то время в школе основ анализа еще не давали): я испытывал именно те затруднения, о которых пишет Курант, и дошел до понимания сути дела не в самом курсе математики, а лишь позже, изучая теоретическую механику, при построении эпюр изгибающего момента и перерезывающей силы. Но многие ли могут и хотят учиться таким способом?

Надо еще добавить, что слова - "основное содержание дается украдкой, через заднюю дверь" - это гениальная формулировка! Она объясняет происхождение провалов в усвоении фундаментальных знаний не только в математике, но и в других науках. Например, пресловутую трудность химической термодинамики, о чем см. в публикации http://www.pretich.narod.ru/Zemlia/himia-fizika/xim_termodin.html