Метод структурных схем и анализ причинно-следственных связей

(автор Александр Борисович Шур, кандидат технических наук, доцент, член-корреспондент ААН)


Список сокращений:

  • МСС – метод структурных схем;
  • ПСС– причинно-следственные связи;
  • КП– коэффициент передачи;
  • РКП – результирующий КП;
  • ОС– обратная связь;
  • ЛТВ, ЛТО – линии тепловыделения и теплоотвода;
  • ПФ – передаточная функция.

Даже правильно составленная система уравнений не всегда достаточна для объяснения происходящих событий, а промежуточные этапы ее решения зачастую вообще уводят от понимания сути. Например, скорость поезда вполне определяется такими параметрами, как пройденный путь и затраченное время. Но на самом деле, не скорость зависит от пути, а путь от скорости. С точки зрения ПСС зависимость ничего не объясняет, а лишь констатирует происходящее. Зато зависимость содержит не только количественный результат, но и направление от причины к следствию. В свою очередь, скорость зависит от мощности локомотива, массы состава, уклона пути и т.д.

Цель данной статьи – раскрыть преимущества в этом отношении МСС перед языком уравнений и графиков, и проиллюстрировать их на конкретных примерах. Для ее достижения пришлось частично отступить от принципа, которого автор придерживался в большинстве других публикаций на ту же тему: оставаться в рамках адаптированного (статического) варианта МСС. Но читатель с минимальной подготовкой сможет ее читать, ему лишь придется принять на веру единственную использованную формулу из операционного исчисления. В то же время, он сможет "заглянуть одним глазом" за тот забор, которым отгорожена адаптированная версия от полной, убедиться, что не боги горшки обжигают, и, возможно, получить стимул к дальнейшему углублению в эту область.

Рис. 1. Два варианта описания зависимости путь - скорость движения

Ясность описания и кратчайший путь к ответу не всегда согласуются между собой, и выход состоит в том, чтобы рассматривать два уровня схемы: один для выполнения расчета, второй – для описания и объяснения происходящего. (Для уже приведенного примера они показаны рис. 1.) Отсутствие параметра времени в схеме b объясняется тем, что она построена в иной системе координат, где анализ ведется в частотной области. Связь между v и s интегральная, ее передаточная функция имеет вид k/p, где p– параметр преобразования Лапласа - Карсона, статического коэффициента передачи она не имеет. Если устремить p к нулю (для перехода к статике), то : чем дольше продолжается движение, тем больше пройденный путь, и он не стремится ни к какому пределу. Ниже рассмотрен более содержательный пример.

Воспламенение топлива в слое. На колосниковую решетку уложен слой вначале холодного угля, сквозь который продувают воздух. Нас интересует, что будет происходить, если менять температуру воздуха. На поверхности и в порах кусков происходит химическая реакция – горючее вещество окисляется, при этом выделяется тепло, отводимое от кусков к потоку воздуха. Значит, нужно сравнить скорости двух процессов: тепловыделения и теплоотвода. Пока воздух холодный, скорость окисления ничтожно мала, но все же не равна нулю: об этом свидетельствует самовозгорание угля в шахтных терриконах или сваленного в кучу промасленного тряпья.

На рис. 2 изображены графики зависимостей между параметрами процесса. По оси абсцисс отложена температура кусков угля, а по оси ординат – скорости тепловыделения Qвыд= и теплоотвода Qотв=. Скорость тепловыделения пропорциональна скорости химической реакции, которая вначале очень медленно растет с температурой кусков. Потом этот рост резко ускоряется, но не беспредельно: когда реакция очень разгонится, ее начинают тормозить уже не собственные возможности (как вначале), а количество подводимого кислорода. Поэтому линия тепловыделения (ЛТВ) S-образна.. Ее левая и правая ветви почти горизонтальны, а посредине наблюдается крутой подъем. Линии теплоотвода (ЛТО) для разных значений образуют семейство. Точки их пересечения с осью абсцисс соответствуют значениям . В стационарном режиме значения Qвыд и Qотв должны быть равны друг другу (иначе температура будет понижаться при Qвыд<Qотв, или повышаться при Qвыд>Qотв). В левой части графика при каждом значении имеем единственную рабочую точку (пересечение ЛТО и ЛТВ). Если температура случайно отклонится от нее, то теплоотвод изменится сильнее, чем тепловыделение (крутизна ЛТО больше, чем ЛТВ), и процесс вернется в рабочую точку: она, следовательно, устойчива.

Рис. 2. Изменение параметров при воспламенении твердого топлива

С ростом линии ЛТО смещаются вправо, и наконец наступает момент, когда пересечение сменяется касанием одной из них с S-образной кривой (справа внизу). Если теперь температура случайно изменится, отклонившись от точки касания, то тепловыделение в любом случае окажется больше, чем теплоотвод (ЛТВ все время остается выше, чем ЛТО), и процесс еще больше отклонится от рабочей точки (вверх и вправо). Следовательно, здесь она неустойчива. Уходя от нее вверх по расходящимся линиям ЛТВ и ЛТО, мы в конечном счете вновь попадем в точку их пересечения на правой (верхней) ветви ЛТВ, и она окажется устойчивой (это легко установить, повторив для нее рассуждения, относившиеся к нижней ветви). Итак, здесь небольшое изменение температуры воздуха привело к очень большому изменению параметров процесса. Произошло то, что называется воспламенением топлива: резкое увеличение как скорости химического процесса, так и температуры кусков. Температура воздуха, при которой оно произошло, называется температурой воспламенения. Дальнейшее ее повышение будет слабо влиять на параметры процесса.

Начнем теперь понижать температуру воздуха. Точка пересечения начнет смещаться влево, оставаясь на верхней ветви кривой, и мы не вернемся вниз по той линии, по которой "вознеслись" наверх. Наконец, секущая, двигаясь влево, опять превратится в касательную (у левого верхнего скругленного угла). Тогда, в обратном порядке, произойдет потухание: рабочая точка вновь скачком переместится на левую нижнюю ветвь кривой. Но температура потухания гораздо ниже температуры воспламенения.

Все ЛТО, заключенные между линиями воспламенения и потухания, пересекают ЛТВ в трех точках. Две крайние (нижняя – медленное окисление, верхняя – горение) устойчивы: процесс, оказавшись в любой из них, в ней же и останется, пока изменения температуры воздуха не слишком велики. Средняя точка – на крутом участке ЛТВ – как легко убедиться, неустойчива. Теоретически такой стационарный процесс возможен, но любое ничтожное отклонение от него приведет к дальнейшему еще большему отклонению с переходом в одну из устойчивых точек: полная аналогия с карандашом, поставленным на острие.

Итак, устойчивы те точки, где круче идут линии, для которых аргумент отложен по оси ординат, а неустойчивы – те, где круче идет линия с аргументом по оси абсцисс (или крутизна обеих одинакова – случай касания). Этот вывод – что особенно важно – относится не только к данному примеру, но и к любому другому.

Рис. 3. Альтернативные структурные схемы процесса воспламенения

 

В принципе, оставаясь в рамках статики, можно составить схему двумя способами, позволяющими получить правильный конечный результат. На рис. 3 они показаны на схемах a, b. Запишем уравнения так, чтобы между ними и схемами было соответствие:

Соответственно, коэффициенты передачи выразятся так:

Результирующие коэффициенты передачи (РКП) по каналу примут вид:

На первый взгляд обе схемы равноценны, поскольку дают один и тот же конечный результат. Но если бы мы этому поверили, то проглядели бы одно из важных преимуществ МСС – доступность с его помощью эвристического анализа (или, что то же, выяснение истинного характера ПСС), ради которого и написана эта статья. К нему мы и переходим.

Эвристический анализ. В обеих схемах имеются нарушения логики ПСС, но наиболее странно выглядит знак минус в числителе выражения РКП в варианте (b). Анализ числовых примеров показывает, что конечный результат оказывается во всех случаях правильным за счет того, что в нижней и верхней точках этого варианта отрицательный числитель компенсируется отрицательным же знаменателем, а в средней точке, где знаменатель положителен, знак РКП действительно минус: когда ЛТВ идет круче, чем ЛТО, сдвиг последней вправо смещает точку пересечения влево.

На схеме (a) в средней точке РКП оказывается отрицательным из-за отрицательного знаменателя, а в крайних (нижней и верхней) точках положительны и числитель, и знаменатель.

С чисто математической точки зрения отрицательный знаменатель РКП означает неустойчивость численного решения системы уравнений: итерации идут "вразнос".

Сопоставляя эти факты, видим, что в схеме (a) устойчивое решение совпадает с физически устойчивыми точками, а неустойчивое – с неустойчивой точкой. В схеме (b) все происходит с точностью до наоборот: для физически устойчивых точек получается расходящееся решение, а для неустойчивых – сходящееся. Получив в свое распоряжение столь мощный критерий, мы уже не станем утверждать, что решения равноценны: безусловно предпочтителен вариант (a), в котором поведение уравнений соответствует поведению системы. Уже этот результат есть существенный шаг вперед в эвристическом анализе: он содержит информацию, которая не видна с поверхности на языке уравнений и графиков.

Рис. 4. Структурные схемы в статическом и динамическом вариантах, к исследованию воспламенения топлива.

Но это еще не все. Даже и в оптимальном варианте (a) неясно, по какому механизму температура кусков зависит от температуры воздуха (связь 1), а тепловой поток физически зависит от обеих температур, а не температура кусков от него (связь 3). На схеме (b) связь 2 физически направлена в противоположную сторону. До сих пор мы не выходили за пределы статических схем. Теперь отбросим это ограничение и построим структурную схему такой, какой она должна быть на самом деле, поместив рядом с ней для сравнения оптимальный вариант статической схемы (рис. 4). Отличие состоит в том, что вместо коэффициентов передачи на динамической схеме фигурируют передаточные функции (ПФ), обозначенные через Wi. В статической схеме мы изначально приравнивали одну другой величины Qвыд и Qотв, введя для них единое обозначение Q. В динамической схеме они участвуют независимо каждая, и введена их разность Q. Теперь все без исключения связи соответствуют логике ПСС и позволяют объяснять функционирование системы, а именно: интенсивность отвода тепла от кусков зависит от температуры кусков и от температуры воздуха, причем последняя является входом системы; интенсивность выделения тепла зависит от температуры кусков; разность Q меняет температуру кусков до тех пор, пока сама она не упадет до нуля. Схема содержит две обратные связи, одна из которых обусловлена выделением, а другая отводом тепла, причем интегральное звено (связь 4) у них является общим.

Описанной последовательности событий соответствует следующая система уравнений:

Здесь: c – теплоемкость топлива, – текущее время, и – начальные условия; остальные обозначения прежние. Передаточные функции здесь представляют собой обычные коэффициенты передачи, за единственным исключением интегральной связи 4, для которой ПФ определяется по правилам операционного исчисления:

Передаточная функция системы в целом определяется по тем же правилам, что и РКП:

Для перехода к статике необходимо параметр p приравнять нулю, и мы получаем уже известное нам выражение для РКП:

Итак, для вычислительных целей не было надобности выходить за рамки статики и включать в рассмотрение передаточные функции. Но для предельной понятности механизма процесса и убедительности объяснений это было необходимо.

Похожие проблемы возникают при изложении многих задач из разных областей знания, например из теоретической экономики. Использование рассмотренного примера в качестве аналога и своего рода эталона может существенно облегчить их понимание и разрешение: оно показывает, к какой степени ясности следует стремиться, чтобы считать эвристический анализ исчерпанным.

Как минимум, можно утверждать, что такой подход к построению учебных курсов способен совместить "несовместимое": с одной стороны облегчить и углубить понимание, а с другой – экономить лекционное время. Но дидактический эффект в подобных случаях неотделим от научного: одновременно повышается сам уровень теории и ее разрешающие способности.

 

Алчевск, 1994 – 2000.